スピン角運動量

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スピン角運動量（―かくうんどうりょう、spin angular momentum）は、電子やクォークなどの素粒子、およびそれらから構成されるハドロンや原子核や原子などの複合粒子が持つ量子力学的な自由度の 1 つである。単にスピンと呼ばれることもある。スピン角運動量は、軌道角運動量とともに、粒子の全角運動量に寄与する。

[編集] スピン角運動量演算子

スピン角運動量は、3 つのエルミート演算子 s_x, s_y, s_z で表される物理量である。これらの演算子の間には、軌道角運動量と同様の交換関係が成り立つ。

$\left[ s_y , s_z \right] = s_y s_z - s_z s_y = i \hbar s_x$

$\left[ s_z , s_x \right] = s_z s_x - s_x s_z = i \hbar s_y$

$\left[ s_x , s_y \right] = s_x s_y - s_y s_x = i \hbar s_z$

ここで、 $\hbar = h / 2 \pi$ であり、h はプランク定数である。ただし軌道角運動量と異なり、空間座標とその共役運動量との外積として表される必要はなく、したがってその大きさは $\hbar = h / 2 \pi$ を単位として整数値のみでなく半整数値をもとりうる。

スピン角運動量の大きさの自乗を

s² = s_x² + s_y² + s_z²

と定義すると、これは各成分 s_x, s_y, s_z のいずれとも交換する。一方各成分同士は交換しないので、s² と各成分 s_x, s_y, s_z のうちいずれか一つとを同時に対角化できる。多くの場合同時対角化する成分を s_z とする。s² の固有値は $s (s + 1) \hbar^2$ 、s_z の固有値は $m_s \hbar$ (m_s = - s, - (s - 1), ..., s - 1, s) となる。m_s をスピン磁気量子数という。s は、0 以上の整数または半整数の値をとる。素粒子の場合、s は素粒子の種類ごとに定まった値をもつ。

[編集] スピン 1/2

s = 1/2 の場合を考える。このとき、s² の固有値は $\frac{3}{4} \hbar^2$ であり、s_z の固有値は $\frac{1}{2} \hbar, -\frac{1}{2} \hbar$ の 2 つが存在することとなる。従って対応する固有状態も 2 つであり、それぞれ上向きスピン、下向きスピンと言うことが多い。

スピン角運動量の各成分 (s_x, s_y, s_z) はパウリ行列 (σ = (σ_x, σ_y, σ_z)) を使って以下のように表される。

$s_x = {\hbar \over 2} \sigma_x = {\hbar \over 2} \begin{pmatrix} 0 && 1 \\ 1 && 0 \end{pmatrix}$

$s_y = {\hbar \over 2} \sigma_y = {\hbar \over 2} \begin{pmatrix} 0 && -i \\ i && 0 \end{pmatrix}$

$s_z = {\hbar \over 2} \sigma_z = {\hbar \over 2} \begin{pmatrix} 1 && 0 \\ 0 && -1 \end{pmatrix}$

以上は、s_z に関して対角となるようにしてある。

[編集] スピンと統計性

s が半整数の値をもつような粒子はフェルミ粒子であり、s が整数値をとる粒子はボース粒子であることが知られている。s の値と統計性の間のこのような関係は、相対論的な場の量子論によって説明できる。

[編集] 関連項目

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