ウィーンの変位則

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ヴィーンの変位則（―のへんいそく、Wien's displacement law）とは、黒体からの輻射のピークの波長が温度に反比例するという法則である。ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見された。ヴィーンはドイツの物理学者であるため「ヴィーン」が正しい名称となるが、慣習的に英語読みのウィーンの変位則とよばれることも多い。

$\lambda_\mathrm{max} = \frac{0.002898}{T}$

ここで $T$ は黒体の温度(K)、 $λ max$ はピーク波長(m)、0.002898 が比例定数である。CGS単位系では 0.29 cm·K である。

[編集] 例

物体の温度が高ければ、放射される波長は短くなる。例えば、太陽の表面温度 5780 K の場合ピーク波長は 500 nm にある。白熱電球をみると、温度の低い時、黄色っぽい光になりさらに温度が低い時赤くみえる。(色温度)

[編集] 導出

ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見されたが、プランクの式から導くことができる。.

黒体輻射のプランクの式は

$u(\lambda) = \frac{8\pi h c}{\lambda^5}\,\frac{1}{ e^{h c/\lambda kT}-1}$

波長 $λ$ の最大値を求めるために、波長分布 $u (λ)$ を $λ$ で偏微分して、0 になる波長を求めればよい。

$\partial_{\lambda}u(\lambda) = 8\pi h c\left( {hc\over kT \lambda^7}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)^2} - {1\over\lambda^6}{5\over e^{h c/\lambda kT}-1}\right)=0$

$\frac{hc}{\lambda kT }\,\frac{1}{ 1-e^{-h c/\lambda kT} }-5=0$

ここで $x\equiv{hc\over\lambda kT }$ とすると、

$\frac{x}{1-e^{-x}}-5=0$

この方程式は解析的には解けないが、ランベルトのW関数を用いて、

x = W ( - 5 e - 5) + 5

と表現することができる。これを数値計算すると、x は

$x\approx4.965114231744276$

となる。x から $λ$ を求めると、

$\lambda = \frac{hc}{ kx }{1\over T} = {0.00289776829\over T}$

となる。

なお、振動数で表示されたプランクの公式

$R(\nu) = \frac{8\pi h}{c^3} \frac{\nu^3}{e^{h\nu / kT} - 1}$

を用いても、同様の導出が可能である。この場合、 $x \equiv{h\nu/kT}$ は

(3 - x) e x = 3

を満たすものであり、やはり解析的には解けないが、数値計算により

$x \approx 2.8214$

したがってピークにおける振動数は

$\nu_{\mathrm{max}} = \frac{kx}{h}T = 5.8789 \times 10^{10} T$

となる。 $\lambda_{\mathrm{max}} \cdot \nu_{\mathrm{max}} = c$ ではないことに注意が必要である。

[編集] 関連項目

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