軌道角運動量

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軌道角運動量（きどうかくうんどうりょう、orbital angular momentum）とは位置座標とその共役運動量の外積として表される角運動量のことである。たとえば原子において、原子核を回る軌道上の電子の角運動量のうちスピン角運動量を除く部分は軌道角運動量である。

[編集] 概要

たとえば（原子核＝中心力場の周りを回る電子の）古典的な角運動量 l は、

l = r × p

で表される。r は電子の位置ベクトル、p は運動量、× は外積である。直交座標系を考え、運動量は、

$\mathbf{p} = -i \hbar \nabla$

と量子化されるので（ $\hbar = h / 2 \pi$ で h はプランク定数）、直交座標 (x, y, z) 各成分の軌道角運動量 (l_x, l_y, l_z) は、

$l_x = -i \hbar \left(y {\partial \over {\partial z}} - z {\partial \over {\partial y}} \right)$

$l_y = -i \hbar \left(z {\partial \over {\partial x}} - x {\partial \over {\partial z}} \right)$

$l_z = -i \hbar \left(x {\partial \over {\partial y}} - y {\partial \over {\partial x}} \right)$

となる。これらに関して以下の関係が成り立つ。

$\left[ l_y , l_z \right] = l_y l_z - l_z l_y = i \hbar l_x$

$\left[ l_z , l_x \right] = l_z l_x - l_x l_z = i \hbar l_y$

$\left[ l_x , l_y \right] = l_x l_y - l_y l_x = i \hbar l_z$

上記の関係を交換関係という。次に、

l² = l_x² + l_y² + l_z²

として、

[l², l_x] = [l², l_y] = [l², l_z] = 0

となる。上の場合、l², l_z は交換可能（可換）であり、これはこれら 2 つの演算子に対し、同時に固有関数になるものが存在することを意味する。当該する固有関数には球面調和関数がある。演算子 l², l_z をこれに作用させると（以下、極座標表示で考える）、

$\mathbf{l}^2 Y_{lm} (\theta , \phi) = l(l+1) \hbar^2 Y_{lm} (\theta , \phi)$

$l_z Y_{lm} (\theta , \phi) = m \hbar Y_{lm} (\theta , \phi)$

となる。Y_lm(θ, φ) が球面調和関数で、 $l(l+1) \hbar^2, m \hbar$ が、それぞれの固有値である。このとき、l, m は量子数であり、

l = 0, 1, 2, ...; - l ≤ m ≤ l

となる。l を方位量子数、m を磁気量子数という。交換関係だけからは l の値として半整数も許されるが、演算子 l が座標とその共役運動量の外積として定義されているため整数値に限られる。

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